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与平行四边形有关的辅助线,掌握这些玩转平行四边形

来源: 作者:admin 发表时间:2020-07-20 13:21:52 浏览:1053

一、 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 、如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.

求证:OE与AD互相平分.

微信图片_20200720132025.jpg

分析:

因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.

证明:连结AE、OD,因为是四边形OCDE是平行四边形,

所以OC//DE,OC=DE,因为0是AC的中点,

所以A0//ED,AO=ED,

所以四边形AODE是平行四边形,所以AD与OE互相平分.

说明:当已知条件中涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,可试通过添加辅助线构造平行四边形.

2.利用两组对边平行构造平行四边形

例2、 如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.

微信图片_20200720132252.jpg

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.

证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,

所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.

说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形解决问题.

3.利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 、如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.

分析:要证明BF=AC,一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中,利用等边对等角;另一种方法是通过等量代换,寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

证明:延长AD到G,使DG=AD,连结BG,CG,

因为BD=CD,所以四边形ABGC是平行四边形,

所以AC=BG,

AC//BG,所以∠1=∠4,因为AE=EF,

所以∠1=∠2,又∠2=∠3,所以∠1=∠4,

所以BF=BG=AC.

微信图片_20200720132331.jpg

微信图片_20200720132348.jpg

图3 图4

说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4 、如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.

微信图片_20200720132503.jpg

分析:要证明四边形CDEF是菱形,根据已知条件,本题有量种判定方法,一是证明四边相等的四边形是菱形,二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线,AE=AC,可通过连接CE,构造等腰三角形,借助三线合一证明AD垂直CE.

求AD平分CE.

证明:连结CE交AD于点O,由AC=AE,得△ACE是等腰三角形,

因为AO平分∠CAE,所以AO⊥CE,且OC=OE,因为EF//CD,所以∠1=∠2,

又因为∠EOF=∠COD,所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成,所以OF=OD,所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

例5、如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.

微信图片_20200720132533.jpg

分析:要证明EF+BF的最小值是DE的长,可以通过连结菱形的对角线BD,借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF,然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明:连结BD、DF.

因为AC、BD是菱形的对角线,所以AC垂直BD且平分BD,

所以BF=DF,所以EF+BF=EF+DF≥DE,

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时,上式等号成立,所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

说明:菱形是一种特殊的平行四边形,和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多,常见的几种辅助线的方法有:(1)作菱形的高;(2)连结菱形的对角线.

三、 与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种:

(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;

(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例6、如图7,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD的长.

微信图片_20200720132617.jpg

分析:要利用已知条件,因为矩形ABCD,可过P分别作两组对边的平行线,构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解:过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点H,交AD于G.

因为四边形ABCD是矩形,

所以PF2=CH2=PC2-PH2,

DF2=AE2=AP2-EP2,

PH2+PE2=BP2,

所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2

=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18,

所以 PD=3

说明:本题主要是借助矩形的四个角都是直角,通过作平行线构造四个小矩形,然后根据对角线得到直角三角形,利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系,进而求到PD的长.

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

例7、如图8,过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证:∠BCF=∠AEB.

分析:由BE//AC,CF//AE,AE=AC,可知四边形AEFC是菱形,作AH⊥BE于H,根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形,从AH=OB=AC,

可算出∠E=∠ACF=30°,∠BCF=15°.

微信图片_20200720132703.jpg

证明:连接BD交AC于O,作AH⊥BE交BE于H.

在正方形ABCD中,AC⊥BD,AO=BO,

又BE//AC,AH⊥BE,所以BO⊥AC,

所以四边形AOBH为正方形,所以AH=AO=AC,

因为AE=AC,所以∠AEH=30°,

因为BE//AC,AE//CF,

所以ACFE是菱形,所以∠AEF=∠ACF=30°,

因为AC是正方形的对角线,所以∠ACB=45°,

所以∠BCF=15°,

所以∠BCF=∠AEB.

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